之前在《 》一文中提过，Logit应该理解成Log-it，这里的it指的是Odds（“胜率”，等于P/1-P）。一个 Logit变换 就是从概率P到的过程，如下图所示：
当我们讨论Logit的模型时候，指的是下面这种形式：
注意，等号的右边是自变量的 线性组合 。
我记得以前在学《数学建模》的时候，有一个 人口增长模型 ：（1）如果没有资源限制的话，人口随时间的变化率 和总人口的数量（ ）呈 线性 关系（人口越多，繁殖的越快）——这就是 指数增长模型 （Exponential Growth，见下图左侧）。（2）实际情况下，由于受到环境、资源等各方面的限制，人口变化曲线一般呈S-型——起初人口数量较少的时候增长率较低，然后随着时间的推移逐渐增加；当达到资源限制的瓶颈（K）的时候，增长率又下降至零——我们把这种 非线性 的S-型增长模型称之为 Logistic Growth ，如下图右侧所示。
求解上图右侧（Logistic Growth）对应的微分方程 。令 可得：
结合初始条件 时 ，可以得到微分方程的解为：
由于人口数量N总是小于阈值K（在 时刻的人口数量 小于K），所以 ，故而 是一个大于0的数。我们总能找到一个常数 使得 成立。这样上式就可以简化为：
更进一步：用 替换 、 替换 ，然后再把自变量换成 ，可以得到一个看起来更加舒服的式子：
（2）式即为 Logistic函数 。有没有觉得这个式子很眼熟？
对于（1）式的Logit模型，只考虑一个自变量时：
两边同时做指数运算（求e次方）：
然后整理可得：
（2）、（3）不是一样的么？
所以，Logit 模型和Logistic模型是一回事。
当我们说 Logit模型 的时候，一般指的就是这个式子：
当我们说 Logistic模型 的时候，一般指的是这个式子：
小结一下：
（1）Logit模型的左侧是Odds的对数，而Logistic模型的左侧是概率。
（2）Logit模型的右侧是一个线性结构，而Logistic模型的右侧是非线性的。
（3）二者可以相互转化。
题外话：Logit模型是基于 效用理论 （可以参见上一篇文章： ）推导出来的，而Logistic函数可以通过求解微分方程得到。两者最后竟然异曲同工——不得不承认数学的神奇！
【本篇完】
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标签：模型,Logit,Logistic
