首先由牛顿力学，单摆的运动可作如下描述：
单摆受到的重力矩为：
M
=
-
m
*
g
*
l
*
Sin
x.
其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。
我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。由力矩与角加速度的关系不难得到，
M
=
J
*
β.
其中J
=
m
*
l^2是单摆的转动惯量，β
=
x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。
于是化简得到
x''
*
l
=
-
g
*
Sin
x.
我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程
x''
+
Sin
x
=
0.
因为单摆的运动方程（微分方程）是
x''
+
Sin
x
=
0…………（1）
而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是
x''
+
x
=
0………………（2）
我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
不过，在x比较小时，近似地有Sin
x
≈
x。（这里取的是弧度制。即当x
->
0时有Sin
x
/
x
=
o(1)。）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。
然后说一下为什么是5°。由于Sin
x
≈
x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事实上5°≈0.087266弧度，Sin
5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度越大越不精确。如果角度很大（比如60度处，误差高达17%），就完全不能说它是简谐振动了。
标签：单摆,运动
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