椭圆积分的椭圆积分

除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射信蠢的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上培坦枝，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个：F(sn(z;k);k) =z其中sn是雅可比椭圆函数之一。

记法

椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：

模角;椭圆模;参数; 上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：

幅度x其中u，其中x= snu而sn是雅可比椭圆函数之一 规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以配敏互换地使用。注意u也依赖于m。其它包含u的关系有

和

后者有时称为δ幅度并写作。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

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