谁能给个Jensen不等式证明

琴生在1905年给出了一个定义:

设函数 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 ，都有

(1)

则称 为[a,b]上的凸函数。

若把(1)式的不等号反向，则称这样的 为[a,b]上的凹函数。

凸函数的几何意义是:过 曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。

其推广形式是:若函数 的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数 ，都有

(2)

当且仅当 时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。

更为一般的情况是:设 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 ，有

其中 ，则称 是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有 则称 是[a,b]上的凹函数。

其推广形式 ，设 ， 是[a,b]上的凸函数，则对任意 有 ，

当且仅当 时等号成立。

若 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生(Jensen)不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。

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